In diesem letzten Video zur linearen Algebra wollen wir uns mit einer noch allgemeineren

Kategorie von Endomorphismen beschäftigen, den sogenannten normalen Endomorphismen. Und wie wir

insbesondere sehen werden, sind unitäre und auch selbst adjungierte Endomorphismen Spezialfälle

dieser Abbildungen. Wir fangen an mit der Definition von normalen Endomorphismen. Im letzten

Video habe ich die schon einmal kurz hingeschrieben. Wir wollen das Ganze noch mal formal korrekt hier

festhalten. Das heißt, wir machen nun die folgende Definition zu normalen Endomorphismen.

Gut, wir nehmen wieder an V sein endlich dem Sonate euklidischer oder unitärer Vektorraum

und wir betrachten ein Endomorphismus F von V nach V. Diesen nennen wir genau dann normal,

wenn er mit seiner adjungierten kommutiert. Wir nennen F normal, falls er mit seiner adjungierten,

die hatten wir mit F Sternchen bezeichnet, kommutiert und mathematisch ausgedrückt,

das ist das, was wir bereits in der letzten Vorlesung kurz gesehen hatten, bedeutet das,

dass wir F anwenden können auf F Sternchen und das ist der selbe Operator wie F Sternchen

angewendet auf F. Das heißt, es muss folgende Komutation gelten, F angewendet auf F Sternchen

muss dasselbe sein wie F Sternchen angewendet auf F und das ist natürlich nicht so klar,

das gilt zum Beispiel für allgemeine Matrizen nicht, sondern nur eben für darstellende Matrizen

dieser normalen Endomorphismen. Jetzt haben wir im letzten Video auch schon den Zusammenhang

zwischen der darstellenden Matrix einer adjungierten zur darstellenden Matrix des normalen Endomorphismus,

also des ursprünglichen Endomorphismus gesehenen Normales, jetzt ein besetzter Begriff und das lässt

sich jetzt hier auch übertragen, das heißt wir können uns anschauen, was bedeutet Normalität

für darstellende Matrizen. Dazu definieren wir uns eine Matrix A als die darstellende Matrix

bezüglich einer Ortonormalbasis B von F, die darstellende Matrix von F, wichtig ist,

dass wir eine Ortonormalbasis wieder annehmen, Ortonormalbasis B von V, dann gilt das folgende,

falls F normal ist, gilt der folgende Zusammenhang und das sehen wir an dem Satz der letzten

Vorlesung, der eben genau diese Beziehung hergestellt hat, dann muss gelten, dass die

darstellende Matrix A von links multipliziert an ihre adjungierte A-Sternchen, dasselbe ist

wie A-Sternchen von links multipliziert an A, also hier muss auch gelten, dass die darstellende

Matrizen kommutieren. Gut, jetzt haben wir schon mal gesehen, das ist die Definition von Normalität,

ich habe auch schon angekündigt, wir werden sehen, Spezialfälle sind gerade die unitären

und selbstadjungierten Enomorphismen, das wollen wir folgenden einmal nachrechnen, dazu machen

folgendes Beispiel, also im folgenden betrachten wir hinreichende Kriterien für Normalität,

wichtig ist, dass es hinreichende sind, nicht notwendige. Fangen wir mit dem ersten Spezialfällen

an, wir schauen uns unitäre Enomorphismen an, das heißt, erstes Beispiel, jeder unitäre

Enomorphismus, wenn wir ihn f und v nach v ist normal, warum, was war nochmal, eine unitäre

Enomorphismus, was gilt für den, da hat eine folgende Bedingung aufgestellt in der Definition,

wir haben gesagt, die adjungierte von f, das muss gerade gleich der Inversen von f sein,

der Umkehrbildung, und zwar können wir das jetzt hier ausnutzen, wir schauen uns also auf der linken

Seite an, was ist f angewendet auf f-Sternchen und für Normalität würden wir warten, dass wir auf der

rechten Seite irgendwo die Umkehrung bekommen, das heißt, ich möchte gerne hinzu, das ist gleich f-Sternchen

angewendet auf f und wir können nur ausnutzen, dass unser Enomorphismus f-unitär ist, okay, das

heißt, setzen wir uns nochmal direkt ein, f-Sternchen ist gleich f in vers, das heißt, da haben wir

dieses, naja, aber wir wissen, wenn f angewendet wird auf seine Umkehrbildung, dann ist das nichts

anderes wie die Identität in dem Vektorraum v, das ist dieser Apparator, den kann ich aber auch

andersrum zerlegen, das ist auch klar, das heißt, ich kann auch einfach schreiben, die Identität als

f in vers angewendet auf f, naja, und dann haben wir wieder gesehen, weil unitär gilt genau, dass f in

vers gleich Sternchen ist, das heißt, wir haben hier unitär und hier unitär ausgenutzt und ansonsten

gilt einfach nur, dass f angewendet mit seiner Umkehrbildung immer die Identität bilden muss,

gut, das sehen wir also ein, unitäre Endomorphismen sind normal, wie sieht es mit den

selbstadjungierten aus, dazu schauen wir uns folgendes an, jeder selbstadjungierte Endomorphismus,

das waren gerade die, bei denen die darstellenden Matrizen Hermitesch oder symmetrisch waren,

f von v nach v ist ebenfalls normal, was musste dafür gelten, naja, für die selbstadjungierten